单调队列优化DP历险记-白红宇

单调队列优化DP历险记

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发布时间：2019-03-06

本文共 3158 字，大约阅读时间需要 10 分钟。

写在前面

记录那写抄题解水过的单调队列优化DP

简介

用到单调队列优化的情况：

状态转移时需要从一段固定长度的区间里找

区间是在不断滑动的

实现步骤：

检查队首是否年纪大了，是则弹出

检查队尾是否比要加进去的位置更优，否则弹出

加入新元素

取出队首，就是最优的位置，$O(1)$ 转移即可

斜率优化

其实和单调队列差不多，只是队首队尾的弹出条件相对复杂，涉及斜率？

\[\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}\]

实用小技巧

全部赋成128其实就是极小值
memset(f, 128, sizeof f)

股票交易

Description

Solution

状态应该是比较好想的，数据范围只有两千，涉及量有天数和股票数，所以可以设 $f_{i, j}$ 表示到第 $i$ 天，手里还有 $j$ 个股票时的最大价值

分情况讨论

凭空买：前 $W$ 天，没有股票，只能先买一手，所以这几天可以直接赋值，其他状态初值为 -INF，（可以用memset赋128）,即

\[f_{i,j} = - {ap}_i \times j (0 \le j \le {as}_i)\]

不买也不卖：无变化，即

\[f_{i, j} = f_{i - 1, j}\]

买入：交易间隔天数为 $W$ ，今天为第 $i$ 天，离上次交易最近的是第 $i - W - 1$。

为什么一定是这一天？回看刚刚讨论的第 2 种情况，我们已经把某一天以前的最优答案转移到了该天，所以从那一天转移，相当于从那一天包括前面任何一天开始转移，省去了大把时间。

设第 $i - W - 1$ 有 $k$ 枚股票，因为有 $as$ 的限制，所以 $j - as$ 是底线，买进 $j - k$ 张股票，要花去 $(j - k) \times {ap}i$ 转移方程为：

\[f_{i,j} = \max \{ f_{i,j}, f_{i - W - 1, k} - (k - j) \times {ap}_i \} (j - {as}_i \le k < j)\]

卖出：交易间隔天数为 $W$ ，今天为第 $i$ 天，离上次交易最近的是第 $i - W - 1$。同上面道理差不多

因为是卖股票，$k$ 要比 $j$ 大，但要 $\le j + bs_i $；这次交易卖了 $k - j$ 张股票，赚得 $(k - j) \times {bp}_i$，整理一下，转移方程为：

\[f_{i,j} = \max \{ f_{i,j}, f_{i - W - 1, k} + (k - j) \times {bp}_i \} (j < k \le j + {bs}_i )\]

但是，这样滴复杂度显然到了 $n^3$ ，让我们考虑优化。

回到那个方程：$f_{i,j} = \max \{ f_{i,j}, f_{i - W - 1, k} - (k - j) \times {ap}_i \} (j - {as}_i \le k < j)$

运用乘法分配律得：$$f_{i,j} = \max { f_{i,j}, f_{i - W - 1, k} - k \times {ap}_i + j \times {ap}_i } (j - {as}_i \le k < j)$$

发现最后一项与 $k$ 无关，$k$ 的范围是不断移动的，符合单调队列优化的条件，维护一个区间最大值就好了

因为第四种情况调用 $k$ 比 $j$ 大，所以需要倒序枚举

Code

/*Work by: Suzt_ilymicsKnowledge: ??Time: O(??)*/#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       #define LL long long#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<
       
        << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();	return f ? -s : s;}int main(){    memset(f, 128, sizeof f);	T = read(), MaxP = read(), W = read();	for(int i = 1; i <= T; ++i){	    ap = read(), bp = read(), as = read(), bs = read();	    for(int j = 0; j <= as; ++j){//初始情况 	        f[i][j] = -1 * j * ap;        }        for(int j = 0; j <= MaxP; ++j){//不进行任何操作             f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);        }        if(i <= W) continue;//因为买入和卖出要在w天之后进行         int l = 1, r = 0;        for(int j = 0; j <= MaxP; ++j){//买入操作             while(l <= r && q[l] < j - as) l++;//超出买入数量就扔掉                        while(l <= r && f[i - W - 1][q[r]] + q[r] * ap <= f[i - W - 1][j] + j * ap) r--;//更新单调队列元素                        q[++r] = j;                        if(l <= r){                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - W - 1][q[l]] + q[l] * ap - j * ap);            }         }                l = 1, r = 0;        for(int j = MaxP; j >= 0; --j){//买出操作 //因为使用后面的更新前面的，所以需要倒叙枚举             while(l <= r && q[l] > j + bs) l++;//超出买出数量就扔掉                        while(l <= r && f[i - W - 1][q[r]] + q[r] * bp <= f[i - W - 1][j] + j * bp) r--;//更新单调队列元素                        q[++r] = j;                        if(l <= r){                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - W - 1][q[l]] + q[l] * bp - j * bp);             }         }    }     	int ans = -INF;	for(int i = 0; i <= MaxP; ++i){		ans = max(ans, f[T][i]);	}	printf("%d", ans);	return 0;}